quell'hard disk è un vero campo di battaglia.
3 swap??? è come se fossero stati installati 3 sistemi linux ognuno sfruttando l'opzione dello spazio libero.
una distro linux ha bisogno di 3 partizioni e basta
/
/home
e una piccola swap, che però può essere anche trascurata.

se vuoi un consiglio, procurati un hard disk esterno, trasferisci tutti i file della tua home lì su, cancelli totalmente l'hard disk, ripristini ubuntu con le tre partizioni di cui sopra più una vuota per mandriva, e rimetti la home che hai salvato nella home di ubuntu.
dopodichè mandriva la installi tutta nella partizione piccola, senza crearne altre.

sì, puoi usare quello spazio. con alcuni accorgimenti.
1. segnati su un foglio le partizioni, soprattutto quelle avviabili di ubuntu, nel caso qualcosa andasse storto col bootloader, da mandriva puoi sempre riconfigurarlo e così potrai riaccedere a ubuntu ogni volta che vorrai
2. quando installi mandriva, usa partizionamento personalizzato, seleziona lo spazio che dici tu, da 13 giga e installa mandriva tutto lì dentro dando solo il punto di mount / a tutta la partizione da 13GB che dici tu, senza dividerla ulteriormente.
in questo modo, la home non avrà una partizione a sè ma sarà inclusa nella partizione del sistema. siccome però a te interessa usare mandriva per testing, va più che bene così.
3. quando finirà di installare i files ti verrà chiesto se vuoi eliminare i pacchetti hardware e la localizzazione inutilizzati. puoi eliminare tranquillamente la localizzazione ma ti consiglio di tenerti, per ora, i pacchetti hardware
4. attenzione quando si installerà il boot-loader perchè sovrascriverà quello di ubuntu. quindi dovrai aggiungere a manina nel boot loader nuovo di mandriva, tutte le tue partizioni di avvio. se vuoi un consiglio, salvati o stampati il file dove sono le impostazioni di boot, di solito si chiama menu.lst
5. facci sapere come è andata